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<!DOCTYPE html>

<title>GHZ-Experiment</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">GHZ-Experiment</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Das <b>GHZ-Experiment</b>, benannt nach den Physikern <a href="Daniel_Greenberger" title="Daniel Greenberger">Greenberger</a>, <a href="Michael_Horne" title="Michael Horne">Horne</a> und <a href="Anton_Zeilinger" title="Anton Zeilinger">Zeilinger</a>, ist ein physikalisches Experiment, das ursprünglich als Gedankenexperiment vorgeschlagen wurde, um das <a href="Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon" title="Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon">Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon</a> zu untersuchen und damit aufgeworfene Fragen zu beantworten. 1989 schlugen Greenberger, Horne und Zeilinger einen Zustand aus drei verschränkten Teilchen vor, bei dem im Gegensatz zu den <a href="Bellsche_Ungleichung" title="Bellsche Ungleichung">Bellschen Ungleichungen</a> vier Messungen genügen, um zu zeigen, dass die Quantenmechanik keine klassische Theorie ist, welche die beiden Eigenschaften der <a href="Lokalit%C3%A4t_(Physik)" title="Lokalität (Physik)">Lokalität</a> und Realität erfüllt.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Nachdem die instrumentellen Möglichkeiten gegeben waren, konnte 1999 durch eine Arbeitsgruppe um Zeilinger erstmals ein entsprechendes Experiment durchgeführt werden. Die Vorhersagen der Quantenmechanik wurden dabei bestätigt.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Aufgrund dieses Resultats konnte auch eine gewisse Klasse von Theorien mit <a href="Verborgene_Variablen" title="Verborgene Variablen">verborgenen Variablen</a> experimentell ausgeschlossen werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutung_und_Interpretation">Bedeutung und Interpretation</h2></div>

<p>Die erstmalige Realisierung eines sogenannten <i><a href="GHZ-Zustand" title="GHZ-Zustand">GHZ-Zustands</a></i> (Greenberger–Horne–Zeilinger) durch Anton Zeilinger und sein Team im Jahr 1999 gilt als wichtiger experimenteller Meilenstein.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Dabei wurden drei Photonen in einem verschränkten Zustand erzeugt. Im Gegensatz zu den Tests der Bellschen Ungleichung genügt beim GHZ-Experiment bereits eine einzige Versuchsdurchführung, um die Unvereinbarkeit lokaler realistischer Theorien mit den Vorhersagen der Quantenmechanik zu zeigen. Die Ergebnisse verschiedener bisher durchgeführter GHZ-Experimente bestätigten die quantenmechanischen Vorhersagen und schlossen eine große Klasse lokal-deterministischer Modelle aus.

</p><p>Diese Experimente unterstreichen die fundamentale Nichtlokalität der Quantenmechanik und liefern damit auch empirische Anknüpfungspunkte für Interpretationen wie die <a href="De-Broglie-Bohm-Theorie" title="De-Broglie-Bohm-Theorie">De-Broglie-Bohm-Theorie</a>, die Nichtlokalität explizit in ihr ontologisches Modell integriert.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hintergrund">Hintergrund</h2></div>

<p>Zwei Teilchen werden gemeinsam in einem <a href="Verschr%C3%A4nkter_Zustand" class="mw-redirect" title="Verschränkter Zustand">verschränkten Zustand</a> erzeugt und fliegen auseinander. Misst man den Zustand eines Teilchens separat, so gibt es zwei mögliche Ergebnisse, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |0\rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |0\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed066a3ad158da0ad6d6a421a606b1c8a35eb95b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |0\rangle }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |1\rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |1\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f53021ca18e77477ee5bd3c1523e5830189ec5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |1\rangle }" loading="lazy"></span>. Die separaten Messergebnisse sind streng korreliert: Wird der Zustand des einen Teilchens gemessen und ist das Ergebnis z. B. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |1\rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |1\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f53021ca18e77477ee5bd3c1523e5830189ec5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |1\rangle }" loading="lazy"></span>, weiß man, dass das andere Teilchen sich im jeweils anderen Zustand befindet (in diesem Fall also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |0\rangle }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |0\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed066a3ad158da0ad6d6a421a606b1c8a35eb95b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |0\rangle }" loading="lazy"></span>) – die Messung wird mit 100 %iger Sicherheit dieses Ergebnis haben. <a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> nahm an, dass diese Eigenschaften der Teilchen schon vorher festgelegt sind, bevor man die Messungen durchgeführt hat, und der jeweilige Zustand beim Teilchen bis zur Messung als sogenannte „verborgene Variable“ gespeichert war. Die Quantenmechanik hingegen beschreibt diese beiden Teilchen als eine einzige <a href="Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktion</a>, die für beide Teilchen beide Zustände gleich wahrscheinlich macht. Erst durch Beobachten, durch eine Messung, haben die Teilchen individuelle Zustände (<a href="Kollaps_der_Wellenfunktion" title="Kollaps der Wellenfunktion">Kollaps der Wellenfunktion</a>), und je nachdem, welcher Zustand bei einem Teilchen gemessen wurde, weiß man nun exakt den Zustand des anderen Teilchens.

</p><p>Keine der beiden Interpretationen lässt sich mit nur zwei verschränkten Teilchen in einem Experiment beweisen. 1964 fand John Bell aber ein Ungleichungssystem (Bellsche Ungleichung), mit dessen Hilfe sich die Frage experimentell entscheiden lässt. Es handelt sich dabei aber um eine statistische Aussage, streng genommen müsste man daher für eine unwiderlegbare Aussage unendlich vielen Messungen vornehmen. Dem GHZ-Experiment hingegen liegen keine statistischen Aussagen zugrunde; es ermöglicht eine experimentell begründete Analyse bzw. Lösung dieses Widerspruchs.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="GHZ-Zustand">GHZ-Zustand</h2></div>

<p>Als GHZ-Zustand wird ein maximal verschränkter Zustand von mindestens drei Teilchen bezeichnet, der im Fall von <a href="Qubit" title="Qubit">Qubits</a> die Form

</p>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle _{M}=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M})=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\ldots 0\rangle +|1\ldots 1\rangle )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a95d28d3616310316bb22b1283b688f7dc2c27bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:56.7ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle _{M}=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M})=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\ldots 0\rangle +|1\ldots 1\rangle )}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>besitzt. Im einfachsten Fall für drei Teilchen entspricht das

</p>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle _{3}=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle ).}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37acf29417a8db04f14be3263dc0338368bfe0e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.093ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle _{3}=\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle ).}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Ein GHZ-Zustand zeigt bei Messungen im GHZ-Experiment aufgrund seiner Verschränkung Korrelationen, die nicht mit Hilfe von lokalen versteckten Variablen erklärbar sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Versuchsdurchführung_und_-auswertung"><span id="Versuchsdurchf.C3.BChrung_und_-auswertung"></span>Versuchsdurchführung und -auswertung</h2></div>

<p>Das GHZ-Experiment wird an drei Qubits durchgeführt. Diese werden vor dem Experiment gerade so <a href="Quantenmechanische_Messung#Präparation_des_Messobjekts" title="Quantenmechanische Messung">präpariert</a>, dass sie den oben beschriebenen GHZ-Zustand einnehmen. Nun kann entsprechend den drei <a href="Pauli-Matrizen" title="Pauli-Matrizen">Pauli-Matrizen</a> in jeder der drei Raumrichtungen der Zustand jedes einzelnen Qubits gemessen werden. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik ergibt sich dabei in jeder der drei Raumrichtungen und aufgrund der besonderen Eigenschaft des GHZ-Zustandes mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder den Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +1}" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"></span>. Beim GHZ-Experiment werden dann insgesamt vier verschiedene Messungen durchgeführt. Bei jeder dieser vier Messungen werden jeweils alle drei Qubits in einer bestimmten und vorher festgelegten Raumrichtung gemessen. Die vier Messungen werden durch die vier Bezeichnungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle YYX}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle YYX}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48b5af35f5541c6cdc85465d0f876e1b2b67a1ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.527ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle YYX}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle YXY}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle YXY}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a4a782497cb970b9b5abe076a2bf8a225bec8b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.527ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle YXY}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle XYY}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle XYY}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac3d8fd2d507d96255cc490970ba7d535a10a0bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.527ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle XYY}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle XXX}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle XXX}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7b3ba0643c1922a9eb333a7439541f333fd1214.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.94ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle XXX}" loading="lazy"></span> festgelegt. Bei der ersten Messung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle YYX}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle YYX}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48b5af35f5541c6cdc85465d0f876e1b2b67a1ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.527ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle YYX}" loading="lazy"></span> wird das erste Qubit in y-Richtung, das zweite Qubit auch in y-Richtung und das dritte Qubit in x-Richtung gemessen. Die drei anderen Messungen werden dann entsprechend der eben erklärten Bezeichnung durchgeführt. Die drei Zwischenergebnisse jeder Einzelmessung werden am Ende einer Messung miteinander multipliziert, so dass jede der vier Messungen erneut nur den Gesamtwert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +1}" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"></span> haben kann. Jeder dieser vier Messungen wird damit ein bestimmtes <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> von Pauli-Matrizen mit den folgenden Erwartungswerten zugeordnet:

</p>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}Y_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}X_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}Y_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =-1,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c07a197255eaf79bec7ed06b5c0528695f7578ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:75.513ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}Y_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |Y_{1}X_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =\langle \mathrm {GHZ} |X_{1}Y_{2}Y_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =-1,}" loading="lazy"></span></dd>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |X_{1}X_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =+1,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1a5322fef48c2a470550bf0cfc9615292543092.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \mathrm {GHZ} |X_{1}X_{2}X_{3}|\mathrm {GHZ} \rangle =+1,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Diese Erwartungswerte können besonders einfach berechnet werden, wenn der GHZ-Zustand durch die <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektoren</a> der Operatoren der durchzuführenden Messungen und damit der zugehörigen Pauli-Matrizen dargestellt wird. Jeder Zustand eines einzelnen Qubits kann in den Eigenvektoren aller drei Pauli-Matrizen dargestellt werden. Der Eigenzustand des Operators einer Messung in z-Richtung kann also auch durch die Eigenvektoren des Operators einer Messung in Richtung der x-Achse dargestellt werden:

</p>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|X+\rangle +|X-\rangle \right)\\&|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|X+\rangle -|X-\rangle \right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b44313965f32b93e9b5d99b82e08a049e6430749.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:26.214ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|X+\rangle +|X-\rangle \right)\\&|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|X+\rangle -|X-\rangle \right)\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und analog die Darstellung durch die Eigenvektoren des Operators einer Messung in Richtung der y-Achse:

</p>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|Y+\rangle +|Y-\rangle \right)\\&|1\rangle ={\frac {-i}{\sqrt {2}}}\left(|Y+\rangle -|Y-\rangle \right).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/429c65ca95f6bf1ff2e51e3fd5492ad75d1a1b94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:26.835ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|Y+\rangle +|Y-\rangle \right)\\&|1\rangle ={\frac {-i}{\sqrt {2}}}\left(|Y+\rangle -|Y-\rangle \right).\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Damit gilt dann:

</p>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|000\rangle +|111\rangle \right)={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)\otimes |X+\rangle +{\frac {1}{2}}\left(|00\rangle -|11\rangle \right)\otimes |X-\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb3799c422228f521fd41798b193929354d16e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:70.924ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|000\rangle +|111\rangle \right)={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)\otimes |X+\rangle +{\frac {1}{2}}\left(|00\rangle -|11\rangle \right)\otimes |X-\rangle }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und

</p>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&|00\rangle +|11\rangle =|Y+Y-\rangle +|Y-Y+\rangle \\&|00\rangle -|11\rangle =|Y+Y+\rangle +|Y-Y-\rangle .\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e86feb8572df386f778f1badc79926d5d60fe98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.424ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&|00\rangle +|11\rangle =|Y+Y-\rangle +|Y-Y+\rangle \\&|00\rangle -|11\rangle =|Y+Y+\rangle +|Y-Y-\rangle .\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für die Messung YYX können deshalb nur die Kombinationen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y+Y-X+}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y+Y-X+}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5ad6b6f37f076ddb3ca074ee9e71ab711fa661e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.016ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle Y+Y-X+}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y-Y+X+}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y-Y+X+}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b65b3f16330d58fc2d9e7911c742e68ea4f0a64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.016ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle Y-Y+X+}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y+Y+X-}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y+Y+X-}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32a08c7b431419b9181982560db4d5e59a16c278.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.016ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle Y+Y+X-}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y-Y-X-}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y-Y-X-}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfc4acd4d760bc9f6ae746f9010e8fd11f900af7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:13.016ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle Y-Y-X-}" loading="lazy"></span> gemessen werden. Bei allen vier Möglichkeiten ergibt die Multiplikation der einzelnen drei Messwerte der einzelnen Qubits immer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"></span>. Für den Erwartungswert der Messung YYX ergibt sich damit der oben angegebene Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"></span>. Eine entsprechende Rechnung kann auch für die anderen drei Messungen durchgeführt werden. Diese Rechnung zeigt also, dass das Produkt der Ergebnisse aller zwölf Einzelmessungen nach den Gesetzen der Quantenmechanik immer den Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"></span> ergeben muss, was experimentell auch mehrfach bestätigt wurde.

</p><p>Dieses Ergebnis steht im Widerspruch zu der Annahme, dass die Ergebnisse jeder Messung eines Qubits bereits durch die Präparation des GHZ-Zustandes eindeutig festgelegt werden. Da jedes Qubit im Laufe der vier Messungen in jeder Richtung jeweils zweimal gemessen wird, wäre dann der Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +1}" loading="lazy"></span> zu erwarten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Verborgene_Variablen" title="Verborgene Variablen">Verborgene Variablen</a></li>

<li><a href="Quantenmechanische_Messung" title="Quantenmechanische Messung">Quantenmechanische Messung</a></li>

<li><a href="Interpretationen_der_Quantenmechanik" title="Interpretationen der Quantenmechanik">Interpretationen der Quantenmechanik</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Daniel M. Greenberger, Michael A. Horne, Abner Shimony, Anton Zeilinger: <i>Bell's theorem without inequalities.</i> In: <i>Am. J. Phys.</i> 58, Nr. 12, 1990, S. 1131–1143 (<a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1119/1.16243">10.1119/1.16243</a></span>, sowie die dort aufgeführten Referenzen).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">D. Greenberger, M. Horne, A. Zeilinger: <cite style="font-style:italic">Going Beyond Bell's Theorem</cite>. In: M. Kafatos (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Bell's Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe</cite>. Kluwer, Dordrecht 1989, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>69–72</span>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/0712.0921">0712.0921</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:GHZ-Experiment&rft.atitle=Going+Beyond+Bell%27s+Theorem&rft.au=D.+Greenberger%2C+M.+Horne%2C+A.+Zeilinger&rft.btitle=Bell%27s+Theorem%2C+Quantum+Theory%2C+and+Conceptions+of+the+Universe&rft.date=1989&rft.genre=book&rft.pages=69-72&rft.place=Dordrecht&rft.pub=Kluwer" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Jian-Wei_Pan" title="Jian-Wei Pan">Jian-Wei Pan</a>, <a href="Dirk_Bouwmeester" title="Dirk Bouwmeester">Dirk Bouwmeester</a>, M. Daniell, <a href="Harald_Weinfurter" title="Harald Weinfurter">Harald Weinfurter</a>, A. Zeilinger <i>Experimental test of quantum nonlocality in three-photon GHZ entanglement</i>, Nature, Band 403, 2000, S. 515–519</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">D. Bouwmeester, J.-W. Pan, M. Daniell, H. Weinfurter, A. Zeilinger: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Observation of three-photon Greenberger–Horne–Zeilinger entanglement</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. 82. Jahrgang, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>7</span>, 1999, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1345–1349</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.1345">10.1103/PhysRevLett.82.1345</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:GHZ-Experiment&rft.atitle=Observation+of+three-photon+Greenberger-Horne-Zeilinger+entanglement&rft.au=D.%26%2332%3BBouwmeester%2C%26%2332%3BJ.-W.%26%2332%3BPan%2C%26%2332%3BM.%26%2332%3BDaniell%2C+...&rft.date=1999&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.82.1345&rft.genre=journal&rft.issue=7&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.pages=1345-1349&rft.volume=82.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="book">Anton Zeilinger: <cite style="font-style:italic">Einsteins Schleier. Die neue Welt der Quantenphysik</cite>. C. Bertelsmann, 2005, ISBN 978-3-406-50281-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:GHZ-Experiment&rft.au=Anton%26%2332%3BZeilinger&rft.btitle=Einsteins+Schleier.+Die+neue+Welt+der+Quantenphysik&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=9783406502811&rft.pub=C.+Bertelsmann" style="display:none"> </span></span></span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Oliver Passon: <cite style="font-style:italic">Bohmsche Mechanik: Eine elementare Einführung in die deterministische Interpretation der Quantenmechanik</cite>. 2., erw. und überarb. Auflage. Deutsch, Frankfurt am Main 2010, ISBN 978-3-8171-1856-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:GHZ-Experiment&rft.au=Oliver+Passon&rft.btitle=Bohmsche+Mechanik%3A+Eine+elementare+Einf%C3%BChrung+in+die+deterministische+Interpretation+der+Quantenmechanik&rft.date=2010&rft.edition=2.%2C+erw.+und+%C3%BCberarb.+Aufl&rft.genre=book&rft.isbn=9783817118564&rft.place=Frankfurt+am+Main&rft.pub=Deutsch" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>